Multiplier des fractions : méthode CM2

Mythe n° 1 : « c'est au programme du CM2 »

C'est la précision la plus utile de cet article, et elle épargne beaucoup de tensions inutiles. Multiplier une fraction par une fraction — du type 2/3 × 3/4 — n'est pas un attendu du CM2. Cette compétence se construit au collège, principalement en 5ème.

Ce que le CM2 demande, c'est de multiplier une fraction par un nombre entier. Par exemple, calculer 3 × 2/5, ou trouver les deux tiers de 12. C'est déjà substantiel, et c'est cela qu'il faut sécuriser. Si votre enfant a un exercice de fraction par fraction, il s'agit soit d'un approfondissement, soit d'une anticipation de son enseignant — utile, mais pas un critère d'évaluation à ce niveau.

Mythe n° 2 : « multiplier, ça agrandit toujours »

C'est l'obstacle le plus profond du chapitre, et il ne se lève pas avec une règle de calcul. Depuis le CE1, chaque multiplication rencontrée par l'enfant produit un résultat plus grand. Il en a tiré une loi générale, jamais formulée mais très solide.

Or la moitié de 8 fait 4. Écrit autrement : 1/2 × 8 = 4, et le résultat a diminué. Tant que cette contradiction n'est pas traitée frontalement, l'enfant se croira en erreur chaque fois qu'il obtiendra un résultat plus petit, et il corrigera un calcul juste.

La formulation qui débloque est celle-ci : multiplier par un nombre plus petit que 1, c'est prendre une partie de quelque chose. Prendre la moitié, prendre le tiers, prendre les trois quarts. Le mot « de » remplace avantageusement le mot « fois ».

Mythe n° 3 : « il faut un dénominateur commun »

Celui-ci vient d'une contamination par l'addition, et il coûte beaucoup de temps aux élèves qui l'ont installé. Pour multiplier, il n'y a rien à harmoniser : on multiplie les numérateurs entre eux, les dénominateurs entre eux, et c'est terminé.

La raison est visuelle. Prendre les deux tiers des trois quarts d'un rectangle, c'est découper ce rectangle en 4 colonnes puis en 3 lignes, ce qui donne 12 cases. On en retient 2 × 3, soit 6. Le résultat est donc 6/12, c'est-à-dire la moitié. Le dénominateur du résultat n'est rien d'autre que le nombre total de cases du quadrillage.

• **Addition** : les dénominateurs doivent être identiques avant de calculer.
• **Multiplication** : les dénominateurs se multiplient, sans aucune préparation.
• **Conséquence pratique** : si votre enfant cherche un dénominateur commun devant une multiplication, il applique la règle du chapitre précédent. Signalez-le immédiatement, cette confusion s'installe vite.

Mythe n° 4 : « on simplifie à la fin »

On peut, mais c'est le plus mauvais moment. Simplifier avant de multiplier réduit fortement la taille des nombres manipulés, et donc le nombre d'erreurs de calcul.

Sur 2/4 × 3/6, la voie longue donne 6/24, qu'il faut ensuite ramener à 1/4 — avec un risque d'erreur à chaque étape. La voie courte simplifie d'abord chaque fraction : 2/4 devient 1/2, et 3/6 devient 1/2. Il ne reste plus qu'à calculer 1/2 × 1/2, soit 1/4. Les nombres restent petits du début à la fin.

La réalité : ce qu'il faut savoir faire en fin de CM2

Trois compétences, dans cet ordre. Elles suffisent, et elles préparent parfaitement le collège.

1. **Multiplier une fraction par un entier** : 3 × 2/5 donne 6/5, parce qu'on prend trois fois deux cinquièmes. Le dénominateur ne change pas, seul le nombre de parts augmente.
2. **Prendre une fraction d'une quantité** : les deux tiers de 12. On divise 12 par 3, ce qui fait 4, puis on multiplie par 2, ce qui fait 8. La formulation « diviser par le bas, multiplier par le haut » est celle qui reste.
3. **Reconnaître la situation dans un problème** : « il a dépensé les trois quarts de ses 20 euros » doit déclencher le calcul sans qu'on ait à le suggérer. C'est cette reconnaissance, et non le calcul, qui est évaluée.

Le protocole en quatre séances

Quinze minutes par séance, deux séances par semaine. L'ordre compte davantage que la durée : chaque séance ne devient utile qu'une fois la précédente acquise.

1. **Séance 1 — le sens.** Uniquement des « fractions de » sur des objets réels : la moitié de 8 billes, le tiers de 9 cartes, les trois quarts d'une tablette. Aucune écriture fractionnaire, aucun calcul posé.
2. **Séance 2 — la fraction d'une quantité.** On passe à l'écrit, avec des nombres qui tombent juste. On installe la procédure « diviser par le bas, multiplier par le haut ».
3. **Séance 3 — la fraction fois un entier.** 3 × 2/5, 4 × 1/3. On fait remarquer que le résultat peut dépasser 1, ce qui surprend beaucoup d'élèves.
4. **Séance 4 — les problèmes.** Uniquement des énoncés, où l'enfant doit d'abord dire quelle opération il va faire, puis seulement la faire. C'est la séance qui compte le plus pour l'évaluation.